Questão 146 do ENEM 2014 — Matemática
Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2ˣ · 5ʸ · 7ᶻ, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
Resolução comentada
Como N = 2ˣ·5ʸ·7ᶻ é múltiplo de 10, temos x ≥ 1 e y ≥ 1; como não é múltiplo de 7, z = 0. O número total de divisores de um número fatorado é o produto dos expoentes acrescidos de 1: (x+1)(y+1)(z+1) — note que, com z = 0, o fator (z+1) = 1 não altera nada. Excluindo o próprio N, ficam (x+1)(y+1)(z+1) − 1 divisores.
A expressão (x+1)(y+1) é tentadora porque já usa z = 0, mas conta todos os divisores, inclusive o próprio N — falta subtrair 1.