Questão 165 do ENEM 2013 — Matemática
Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
Resolução comentada
Os quatro vértices formam um ciclo A–D–C–B–A (veja a figura), e vizinhos precisam ter cores diferentes: tratando cada vértice como uma posição fixa, isso dá 18 colorações possíveis com 3 cores. Mas a joia é uma peça física que pode ser girada meia-volta sem virar um objeto diferente — nesse giro, A troca de lugar com C, e D com B. Descontando as colorações que só diferem por essa rotação de 180° do losango, restam 12 joias realmente distintas.
O valor 18 é exatamente o total antes de descontar essa simetria: conta como joias diferentes peças que, giradas meia-volta, são idênticas — o resultado natural de quem aplica o princípio multiplicativo vértice por vértice sem lembrar que o losango pode ser girado.