Questão 144 do ENEM 2012 — Matemática
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
Resolução comentada
O total de respostas possíveis é dado pelo princípio multiplicativo: 5 objetos × 6 personagens × 9 cômodos = 270 combinações distintas. Como 280 alunos participam e as respostas não podem se repetir, pelo menos dois alunos terão obrigatoriamente a mesma resposta depois que as 270 possibilidades se esgotarem — por isso há 280 − 270 = 10 alunos a mais do que respostas possíveis.
Concluir que há 20 alunos a mais tentaria convencer por ser um número “redondo” próximo, mas só apareceria se alguém esquecesse de multiplicar um dos três fatores (por exemplo, usando só 5×6 ou só 6×9), reduzindo incorretamente o total de combinações.