Questão 175 do ENEM 2009 — Matemática
O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que, TC= NV/NF, TA= NA/NV, NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.
Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a
Resolução comentada
Do enunciado, (TC + TA)/2 = 0,6, logo TC + TA = 1,2. Dobrar NF reduz TC à metade: (TC/2 + TA)/2 = 0,5, logo TC/2 + TA = 1,0. Subtraindo as equações: TC/2 = 0,2, então TC = 0,4 e TA = 0,8. De TA = NA/NV = 0,8 com NA + NV = 3.600 vem 1,8·NV = 3.600, ou seja, NV = 2.000. Por fim, TC = NV/NF = 0,4 dá NF = 2.000 ÷ 0,4 = 5.000.
O ponto-chave é notar que dobrar NF afeta somente TC (que tem NF no denominador), deixando TA intacta — é isso que gera o sistema de duas equações capaz de determinar cada taxa separadamente.