Questão 174 do ENEM 2009 — Matemática
Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por
Resolução comentada
Quando P percorre a distância d sobre a circunferência, o ângulo central varrido é d/r radianos (arco = raio × ângulo). A projeção Q, que começava à distância r do centro sobre o eixo x, passa a ocupar a posição r·cos(d/r). O deslocamento de Q é, portanto, r − r·cos(d/r) = r(1 − cos(d/r)).
A expressão que troca cosseno por seno erra: o seno mede a distância vertical de P ao eixo x, enquanto a posição horizontal da projeção Q — que é o que se desloca sobre o eixo — depende do cosseno do ângulo percorrido.