Questão 155 do ENEM 2025 — Matemática
Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo
D = k + tg[p(T + m)],
sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.
A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é
Resolução comentada
A figura mostra o gráfico de D = k + tg[p(T + m)] e pede os valores de k, p e m. Cada parâmetro se liga a uma característica do gráfico: k é a altura do centro da curva, p define o período (distância entre assíntotas) e m desloca a curva na horizontal.
Comece pelas assíntotas, em T = (5 − 2π)/2 e T = (5 + 2π)/2. A distância entre elas é o período da tangente: (5 + 2π)/2 − (5 − 2π)/2 = 2π. Como o período de tg(p·u) é π/p, temos π/p = 2π, logo p = 1/2. O centro da curva fica no ponto médio das assíntotas: T = (5/2 − π) + π = 5/2 = 2,5. Nesse ponto, o gráfico marca D = 30, então k = 30.
Para o deslocamento, o centro da tangente ocorre quando o argumento é zero: (1/2)(T + m) = 0 em T = 2,5, o que dá m = −5/2. Portanto D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)]. Verificação: nas assíntotas, (1/2)(T − 5/2) = ±π/2 leva a T = 5/2 ± π = (5 ± 2π)/2, exatamente o que a figura mostra. Essa é a expressão com 30 somado à tangente e fator 1/2 multiplicando (T − 5/2).
Os distratores têm erros típicos. Os que usam 4 ou 2,5 como constante, com coeficiente 30 ou 2,5 dentro da tangente, trocam os papéis dos números. O que traz (T + (5 + 2π)/2) usa a posição de uma assíntota como se fosse m. E o que traz 1/2 · (T − 5), sem dividir o 5 por 2, desloca o centro para T = 5 e as assíntotas para 5 ± π, o que não bate com a figura.