Questão 153 do ENEM 2025 — Matemática
Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado. Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.
Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
Resolução comentada
O herói só escapa dos ataques se estiver sempre à mesma distância dos dois vilões, que estão em V e T. O conjunto de pontos equidistantes de dois pontos é a mediatriz do segmento que os une. Note que, no quadrado STUV, T e V são vértices opostos (ambos vizinhos de S e de U), então o segmento TV é uma diagonal.
Como as diagonais de um quadrado são perpendiculares e se cruzam no ponto médio, a mediatriz de TV é a outra diagonal, SU. Falta descobrir U. O lado SV tem direção (8 − 6 ; 6 − 2) = (2 ; 4). O lado ST é perpendicular a ele, com o mesmo comprimento, então tem direção (−4 ; 2), e T = (6 − 4 ; 2 + 2) = (2 ; 4). Já U = T + (2 ; 4) = (4 ; 8).
A diagonal SU passa por S(6 ; 2) e U(4 ; 8). Inclinação: m = (8 − 2) ÷ (4 − 6) = −3. Equação: y − 2 = −3(x − 6), logo y = −3x + 18 + 2 = y = −3x + 20. Confira: U(4 ; 8) dá −12 + 20 = 8, e o ponto médio de TV, (5 ; 5), dá −15 + 20 = 5. Ambos pertencem à reta.
Os distratores com inclinação 3 vêm de esquecer o sinal: a reta TV tem inclinação 1/3, e a perpendicular tem inclinação −3 (o oposto do inverso). Já as opções com termo independente 16 ou −20 surgem de erros ao substituir as coordenadas de S na equação da reta.