Questão 137 do ENEM 2025 — Matemática
Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma. Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas.
Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
Resolução comentada
Pede-se quantas cores são necessárias quando faces congruentes recebem a mesma cor e faces não congruentes, cores diferentes. Então basta contar quantos tipos de face o sólido tem.
O poliedro é um prisma hexagonal regular reto com um tronco de pirâmide hexagonal regular colado em uma das bases. A base maior do tronco coincide com a base do prisma, e por isso essa face deixa de existir na superfície. Restam: o hexágono menor, no topo do tronco; 6 trapézios (faces laterais do tronco); 6 retângulos (faces laterais do prisma); e o hexágono da base inferior do prisma.
Como as figuras são regulares, os 6 trapézios são congruentes entre si, e os 6 retângulos também. Já os dois hexágonos são regulares, mas não são congruentes: o do topo é a base menor do tronco, e o da base inferior é a base maior (igual à do prisma). Trapézio e retângulo também são diferentes entre si.
São 4 tipos de face (hexágono menor, trapézio, retângulo, hexágono maior) e, portanto, 4 cores. O erro tentador é pintar os dois hexágonos da mesma cor por serem hexágonos regulares, o que dá 3. Outro engano é contar face por face (14 faces) em vez de agrupar as congruentes.