Questão 177 do ENEM 2024 — Matemática
Uma imobiliária iniciou uma campanha de divulgação para promover a venda de apartamentos que podem ser pagos em 100 parcelas mensais. O valor da primeira delas é fixado no momento da compra, com o pagamento dessa primeira parcela. A partir da segunda parcela, o valor é determinado pela aplicação de um acréscimo percentual fixo ao valor da parcela anterior. Como atrativo, a imobiliária fará o pagamento de todas as parcelas correspondentes ao mês de aniversário do comprador.
Um cliente, que faz aniversário no mês de maio, decidiu comprar um desses apartamentos por meio do financiamento oferecido pela imobiliária, e pretende escolher o mês mais adequado para realizar essa compra, de modo que o valor total dos pagamentos seja o menor possível.
Qual é o mês que esse cliente deverá escolher para realizar a compra do apartamento?
Resolução comentada
A questão pede o mês de compra que torna o gasto total mínimo. As 100 parcelas são mensais, a primeira é paga na compra e cada uma é maior que a anterior (acréscimo percentual fixo, formando uma progressão geométrica crescente). Todas as parcelas que caem em maio, mês de aniversário do cliente, são pagas pela imobiliária.
Quanto mais maios caírem dentro dos 100 meses, e quanto mais caras forem essas parcelas, menor o gasto. Como 100 = 8 × 12 + 4, o ciclo de 12 meses se repete 8 vezes e sobram 4 meses: os 4 primeiros meses da sequência aparecem 9 vezes, e os demais, 8 vezes. Para ter 9 maios, o início deve ser fevereiro, março, abril ou maio (junho e agosto dariam só 8 maios).
Compare esses quatro inícios pelas posições das parcelas gratuitas. Compra em maio: parcelas 1, 13, 25, ..., 97. Em abril: 2, 14, ..., 98. Em março: 3, 15, ..., 99. Em fevereiro: 4, 16, ..., 100. Em todos são 9 parcelas gratuitas, mas em fevereiro cada uma tem posição maior, logo valor maior, já que as parcelas crescem. O desconto é máximo, e o total pago mínimo, com fevereiro, a alternativa correta.
O erro mais tentador é comprar no próprio mês de aniversário, imaginando que a gratuidade vale mais cedo; mas assim a primeira parcela gratuita é a menor de todas (a primeira). Escolher junho ou agosto também parece natural, mas essas datas dão só 8 parcelas gratuitas. Uma simulação com 1% de acréscimo mensal confirma: o total é menor para fevereiro, e vai aumentando em março, abril e maio.