Questão 166 do ENEM 2023 — Matemática
Segundo regras da Fifa, em um campo de futebol, a área penal é a região limitada pelo retângulo ABCD, indicado na figura, cujo lado AB mede, aproximadamente, 16 m. O ponto penal P, equidistante dos lados AB e CD, fica localizado a 11 m do lado AD. O arco de circunferência, exterior à região penal, tem centro em P, e o raio mede, aproximadamente, 9 m.
A
B
E P
F
D C
Disponível em: www.cbf.com.br. Acesso em: 5 ago. 2008 (adaptado).
De acordo com as medidas especificadas no texto e na figura, a distância EF entre as extremidades do arco de círculo é
Resolução comentada
A questão pede o comprimento de uma corda de circunferência (a distância EF entre as extremidades do arco), usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo centro, o ponto médio da corda e uma extremidade.
O lado AB, de 16 m, é a profundidade da área penal, medida a partir da linha de fundo (lado AD). O ponto P está a 11 m dessa linha, então a distância de P até o lado oposto, onde E e F estão, é 16 − 11 = 5 m. O arco tem raio 9 m, e E e F são os pontos em que a circunferência corta esse lado.
Seja M o ponto médio de EF; o triângulo PME é retângulo em M, com PM = 5 e PE = 9 (raio).
ME² = 9² − 5² = 81 − 25 = 56, logo ME = √56 ≈ 7,48 m
EF = 2 · ME ≈ 2 · 7,48 ≈ 14,97 m
A resposta é EF ≈ 15 m, ou seja, superior a 14 m e inferior a 19 m. Quem usa o raio 9 como metade da corda obtém 18 m, e quem esquece de dobrar ME obtém cerca de 7,5 m. Já os valores acima de 19 m surgem de somar o raio e a distância de 11 m, o que não tem relação com a corda.