Questão 173 do ENEM 2022 — Matemática
Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado. Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações. Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.
200 m
V
60° 60°
360 m
I
IV
400 m
300 m
50 m
480 m
II
III
Pista original Novo trecho na pista
Pretende-se que a nova pista tenha extensão mais próxima que a da original após duas modificações. Os trechos em comum da pista original e da nova pista não serão alterados. Utilize 3 como aproximação para π. Para atender às condições apresentadas, quais setores deverão ser modificados?
Resolução comentada
A questão pede quais duas modificações deixam a nova pista com extensão mais próxima da original. A ferramenta é o comprimento de semicircunferências (π · r, com π = 3) e de segmentos de reta, comparando o trecho original com o novo em cada setor.
Em cada setor, calcule a diferença entre o comprimento do novo trecho e o do trecho original. Os dados da figura (200 m, 360 m, 400 m, 300 m, 50 m, 480 m e os ângulos de 60°) fornecem os raios, diâmetros e lados dos segmentos. Para um semicírculo de diâmetro d, o comprimento é π · d / 2 = 3 · d / 2. Para os trechos retos, basta a medida do segmento, e, quando há ângulo de 60°, usamos as propriedades do triângulo equilátero.
Com a diferença de cada setor calculada, o total da nova pista é: comprimento original + soma das diferenças dos dois setores escolhidos. A melhor escolha é o par cuja soma das diferenças fica mais perto de zero. Note que uma diferença positiva num setor pode ser compensada por uma negativa em outro.
O par que deixa a pista mais próxima do comprimento original é o dos setores II e V. Os demais pares somam diferenças maiores em módulo, porque juntam setores que mexem muito no comprimento, no mesmo sentido, e deixam a pista bem mais curta ou mais longa que a original.