Questão 142 do ENEM 2022 — Matemática
Uma empresa de publicidade está criando um logotipo que tem o formato indicado na figura. O círculo menor está inscrito no quadrado ABCD, e o círculo maior circunscreve o mesmo quadrado. Considere S1 a área do círculo menor e S2 a área do círculo maior.
A D
O
B C
A razão da área do círculo maior para o círculo menor é igual a
Resolução comentada
A questão pede a razão entre as áreas de dois círculos ligados a um mesmo quadrado ABCD; a ferramenta é relacionar os raios com o lado do quadrado (um círculo inscrito e outro circunscrito) e aplicar a fórmula da área, π · r².
Seja ℓ o lado do quadrado. O círculo menor está inscrito: toca os lados, então seu raio é metade do lado. O círculo maior circunscreve o quadrado: passa pelos vértices, então seu raio é metade da diagonal, e a diagonal de um quadrado mede ℓ√2.
Raio menor: r = ℓ/2, logo S₁ = π · ℓ²/4
Raio maior: R = ℓ√2/2, logo S₂ = π · (ℓ√2/2)² = π · 2ℓ²/4 = π · ℓ²/2
S₂/S₁ = (π · ℓ²/2) / (π · ℓ²/4) = 2
A resposta é 2: o círculo maior tem o dobro da área do menor. O valor √2 aparece para quem compara os raios (R/r = √2) e esquece que a área depende do quadrado do raio. O valor 1 vem de supor que os dois círculos têm a mesma área. Já 8 e 16 são grandes demais: nenhuma conta com os raios ℓ/2 e ℓ√2/2 chega a eles, e surgem de elevar a razão a potências indevidas.