Questão 142 do ENEM 2021 — Matemática
O organizador de uma competição de lançamento de
dados pretende tornar o campeonato mais competitivo.
Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o
jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores tem, em cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar
as regras de modo que a probabilidade de um jogador
pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10. Para
isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem
lançados em cada rodada.
Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
Resolução comentada
A probabilidade de acertar pelo menos um dos n dardos é o complemento de errar todos: P(pelo menos 1) = 1 − (1/2)ⁿ. Para atingir 9/10, é preciso que (1/2)ⁿ ≤ 1/10. Com n=3, (1/2)³=0,125, ainda maior que 0,1; mas com n=4, (1/2)⁴=0,0625, que já é menor que 0,1 — a chance de pontuar sobe para 0,9375, acima de 9/10.
Usar apenas 2 dardos não é suficiente: com apenas 2 lançamentos, a chance de acertar pelo menos um seria 1−(1/2)²=0,75, bem abaixo dos 9/10 exigidos — é preciso testar valor por valor até achar o menor n que realmente cumpre a condição.