Questão 136 do ENEM 2021 — Matemática
Um segmento de reta está dividido em duas partes
na proporção áurea quando o todo está para uma das
partes na mesma razão em que essa parte está para a
outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente
representada pela letra grega ρ, e seu valor é dado pela
solução positiva da equação ρ²=ρ+1
Assim como a potência ρ², as potências superiores
de ρ podem ser expressas da forma aρ + b, em que a e b
são inteiros positivos, como apresentad0o no quadro.
A potência ρ7, escrita na forma aρ+b (a e b são inteiros positivos), é
Resolução comentada
Como ρ² = ρ + 1, toda potência de ρ pode ser reduzida a essa forma usando a relação ρⁿ = ρⁿ⁻¹ + ρⁿ⁻². Partindo de ρ¹ = 1ρ + 0 e ρ² = 1ρ + 1, os coeficientes seguem a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...): ρ³=2ρ+1, ρ⁴=3ρ+2, ρ⁵=5ρ+3, ρ⁶=8ρ+5 e ρ⁷=13ρ+8.
Quem multiplica ρ por ρ⁶ sem substituir corretamente o ρ² que aparece no meio da conta pela definição original (ρ+1) corre o risco de errar as constantes finais, como acontece no resultado (11ρ+7); o passo decisivo é sempre reduzir qualquer ρ² usando essa substituição antes de somar os termos.