Questão 137 do ENEM 2020 — Matemática
Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas: • Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm; • Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm; • Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm; • Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm; • Mesa V: triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm.
A mesa que atende aos critérios especificados é a
Resolução comentada
Cada uma das 6 pessoas precisa de pelo menos 60 cm de borda, então o perímetro do tampo deve ser de pelo menos 6 · 60 = 360 cm. Entre as mesas que cumprem esse critério, escolhe-se a de menor área.
Perímetro de cada mesa:
Hexágono regular de lado 60: 6 · 60 = 360 cm (serve)
Retângulo 130 × 60: 2 · (130 + 60) = 380 cm (serve)
Retângulo 120 × 60: 2 · (120 + 60) = 360 cm (serve)
Quadrado de lado 60: 4 · 60 = 240 cm (não serve, é pequeno demais)
Triângulo equilátero de lado 120: 3 · 120 = 360 cm (serve)
Áreas das mesas que servem:
Hexágono: 6 · (√3/4) · 60² = 6 · 0,433 · 3 600 ≈ 9 353 cm²
Retângulo 130 × 60: 7 800 cm²
Retângulo 120 × 60: 7 200 cm²
Triângulo equilátero: (√3/4) · 120² = 0,433 · 14 400 ≈ 6 235 cm²
A menor área entre as mesas válidas é a do triângulo equilátero de lado 120 cm. Repare que, com o mesmo perímetro de 360 cm, as formas têm áreas bem diferentes: o triângulo é a que "menos aproveita" o perímetro, e por isso tem a menor área. Quem esquece de checar o perímetro pode escolher o quadrado de lado 60 (a menor área de todas, mas que só oferece 240 cm de borda e não acomoda as 6 pessoas).