Questão 171 do ENEM 2019 — Matemática
Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por
Resolução comentada
Como a ordem dos vagões já é fixa (crescente pela numeração de 1 a 12), o que varia é apenas quais posições recebem cada cor. Isso é feito escolhendo, dentre os 12 vagões, quais 4 serão vermelhos (C4,12), depois, dentre os 8 restantes, quais 3 serão azuis (C3,8), depois, dentre os 5 restantes, quais 3 serão verdes (C3,5), e por fim os 2 últimos ficam amarelos automaticamente (C2,2). O total de trens possíveis é o produto dessas combinações sucessivas.
Somar essas combinações em vez de multiplicá-las, como em C4,12 + C3,8 + C3,5 + C2,2, é um erro comum, mas escolher a cor de cada grupo de vagões são decisões sucessivas e independentes — para contar todas as combinações possíveis ao mesmo tempo, as escolhas devem ser multiplicadas, não somadas.