Questão 138 do ENEM 2013 — Matemática
Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:
Resolução comentada
Antes, cada um dos 6 caracteres da senha só podia ser um dígito: 10 opções por posição, ou seja, 10⁶ senhas possíveis. Com a alteração, cada posição aceita 26 letras maiúsculas + 26 minúsculas + 10 dígitos = 62 símbolos, gerando 62⁶ senhas. O coeficiente de melhora é a razão 62⁶/10⁶.
As expressões com fatorial não se aplicam: como os caracteres podem se repetir e a ordem importa, usa-se o princípio multiplicativo (62 × 62 × ... seis vezes), e não arranjos ou combinações sem repetição.