Questão 171 do ENEM 2009 — Matemática
A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, …, 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última.
Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,
Resolução comentada
Nas 84 apostas de 6 dezenas sem cinco números em comum, os resultados favoráveis à quina somam 84 × C(6,5) × 54 = 84 × 6 × 54 = 27.216 sorteios. Na aposta única com 9 dezenas, são C(9,5) × 51 = 126 × 51 = 6.426. Como o espaço amostral é o mesmo, a razão 27.216 ÷ 6.426 ≈ 4,2 mostra que a probabilidade no segundo caso é aproximadamente 4 vezes menor.
O atalho decisivo é perceber que basta comparar os casos favoráveis de cada estratégia, sem calcular as probabilidades completas — o denominador (total de sorteios possíveis da mega-sena) é igual nos dois cenários e se cancela na razão.