Questão 151 do ENEM 2023 — Matemática
Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade V de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento. A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na n-ésima medição, a retirada da (n + 1)-ésima parte do que restou. Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.
Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente,
Resolução comentada
A questão pede a quantidade de água restante após a 7ª, a 8ª e a 9ª medições; a ferramenta é descobrir o padrão fazendo as primeiras medições e perceber que as frações se encadeiam (multiplicação de frações que se cancelam).
A cada medição retira-se uma fração do que restou, então o que sobra é o complemento dessa fração. Na n-ésima medição retira-se 1/(n + 1) do que restou, logo sobra n/(n + 1) do volume anterior.
1ª medição: V · 1/2 = V/2
2ª medição: V/2 · 2/3 = V/3
3ª medição: V/3 · 3/4 = V/4
4ª medição: V/4 · 4/5 = V/5
Padrão: após a n-ésima medição restam V/(n + 1), porque o produto (1/2)(2/3)(3/4)...(n/(n + 1)) cancela tudo, exceto 1/(n + 1).
7ª: V/8; 8ª: V/9; 9ª: V/10
A resposta é 1/8 V, 1/9 V e 1/10 V. Veja de onde vêm as outras. A sequência 1/7 V, 1/8 V e 1/9 V usa o denominador n em vez de n + 1, e por isso corresponde às medições 6ª, 7ª e 8ª. A sequência 7/8 V, 8/9 V e 9/10 V mostra o total já retirado (1 − 1/8, 1 − 1/9, 1 − 1/10), e não o que restou. A sequência 6/7 V, 7/8 V e 8/9 V combina os dois erros: é o total retirado até a 6ª, 7ª e 8ª medições. Já 6/8 V, 7/9 V e 8/10 V mantém o denominador n + 1 certo, mas coloca n − 1 no numerador, como se a parte restante fosse (n − 1)/(n + 1) do volume; basta testar a 1ª medição (que deixa V/2) para ver que a regra não funciona.