Questão 148 do ENEM 2023 — Matemática
Uma costureira tem à sua disposição pelo menos duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos retangulares com as estampas e os tamanhos apresentados.
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
20 cm
10 cm
Para confeccionar um tapete em formato retangular de 10 cm × 50 cm, ela utilizará os retalhos, na posição indicada na figura, costurando um lado de um a um lado do outro, sem que haja rotações desses retalhos. O modelo de tapete que pretende confeccionar deverá conter um único retalho de 10 cm × 20 cm e mais três retalhos de formato 10 cm × 10 cm, sendo que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado a lado.
Quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser confeccionados?
Resolução comentada
A questão pede uma contagem por princípio multiplicativo, considerando a posição do retalho maior e as estampas dos retalhos quadrados, com a restrição de que estampas iguais não fiquem lado a lado.
Os retalhos disponíveis são três estampas de 10 cm × 10 cm e uma de 10 cm × 20 cm. O tapete de 10 cm × 50 cm leva um retalho de 10 × 20 (que ocupa 2 dos 5 módulos de 10 cm) e três quadrados de 10 × 10. Em fila, são 4 peças: o retalho comprido e três quadrados. O retalho comprido tem estampa própria, então não repete estampa com nenhum quadrado e só os quadrados vizinhos entre si têm restrição.
Caso 1: o retalho de 20 cm fica numa ponta (2 posições). Os três quadrados ficam seguidos: 3 · 2 · 2 = 12 modos. Total: 2 · 12 = 24.
Caso 2: o retalho de 20 cm fica no meio (2 posições). Um quadrado fica isolado (3 estampas) e os outros dois são vizinhos (3 · 2 = 6 modos). Total: 2 · 3 · 6 = 36.
Soma: 24 + 36 = 60 modelos.
A resposta é 60 modelos. Quem conta só o caso em que os quadrados ficam juntos obtém 24, e quem considera apenas um dos arranjos acaba em 12. O valor 48 vem de assumir que as 4 posições do retalho comprido têm sempre 12 maneiras de colorir os quadrados (4 · 12), esquecendo que, quando o retalho comprido está no meio, as restrições mudam e há 18 maneiras. O valor 34 não decorre de nenhuma contagem coerente com as regras.