Questão 180 do ENEM 2009 — Matemática
Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
Resolução comentada
A chance de uma dose não causar efeito colateral é 90%. Para n doses independentes, o risco de ocorrer algum efeito é 1 − 0,9ⁿ, que deve ficar em até 35% — ou seja, 0,9ⁿ ≥ 0,65. Testando: 0,9⁴ = 0,6561, risco de cerca de 34,4% (aceitável); já 0,9⁶ ≈ 0,53 dá risco de 47%, acima do limite. O maior tratamento admissível tem 4 doses.
O erro clássico é somar os riscos como se fossem lineares (10% por dose daria 40% em 4 doses e levaria à resposta de 3 doses): probabilidades de eventos independentes se combinam multiplicando os complementares, não somando os riscos.